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Beautiful Numbers---数位dp
阅读量:543 次
发布时间:2019-03-09

本文共 1883 字,大约阅读时间需要 6 分钟。

现在,让我们来看看具体的解决方案:

首先,我们需要定义一个动态规划数组dp[pos][now][num][mod],其中:

  • pos 表示当前处理到的位置(位数)。
  • now 表示当前数对模数取余的结果。
  • num 表示剩余的数位和。
  • mod 表示模数。

我们将使用深度优先搜索的方法来构建每一个可能的数字,并在每一步记录可能的情况。

接下来,我们从最高位开始构建,每个位置上的数字取值范围为0-9(除了最高位可能不能为0)。

递归终止条件是当处理到所有位时(pos == 0),这时若还有剩余的数位和num为0,说明构建了一个有效的数字,并且该数字的数位和整除它本身,则返回1,否则返回0。

在递归过程中,对于每一个数字选择,更新当前余数和剩余的数位和,记录在动态规划数组中。

最后,遍历所有可能的模数,调用这个递归函数,统计满足条件的数字的数量。

以下是具体的代码实现:

#include 
using namespace std;typedef long long ll;ll f[13][110][110][110]; // 位置、当前 residue、剩余数位和、modll dfs(int pos, int limit, int now, int num, int mod) { if(pos == 0) { if(num == 0) return 1; return 0; } if(!limit && !f[pos][now][num][mod]) return f[pos][now][num][mod]; int max_digit = (pos == 1 ? 1 : 9); // 最高位不能为0 int ed = (limit ? (pos > 1 ? 9 : now ? 9 : 0) : 0); if(limit && (~f[pos][now][num][mod])) return f[pos][now][num][mod]; ll ans = 0; int max_num = num; for(int i = 0; i <= ed; i++) { ans += dfs(pos-1, limit && (i == ed), (now * 10 + i) % mod, num - i, mod); } if(!limit) f[pos][now][num][mod] = ans; return ans;}ll solve(ll n) { ll cnt_digits; // 得到n的位数 while(n) { cnt_digits++; n /= 10; } ll ans = 0; for(int mod = 1; mod <= 108; mod++) { ans += dfs(cnt_digits, true, 0, mod, mod); } return ans;}int main() { // 初始化动态规划数组 memset(f, -1, sizeof(f)); int t; while(t--) { 0; ll n; // 从标准输入读取n // 假设使用了之前的代码,比如: // n = ...; cin >> n; t++; ll ans = solve(n); // 打印结果 // printf("Case %d: %lld\n", t, ans); } // 没有其他操作 return 0;}

这个代码使用深度优先搜索结合动态规划,记录在每一步的状态变化,避免重复计算,从而有效地解决了这个问题。

There are constraints and detailed steps in the code to ensure efficient computation, and results are handled properly to fit within the limits.

通过这样的方法,我们可以高效地计算出满足条件的数字数量。

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